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小计算器/图形计算器在函数学习中的三大优势

小计算器相关知识 - 图形计算器在函数学习中的三大优势


云南省昆明市粤秀中学 杨清泉

  提要函数是中学数学极为重要的内容,贯穿高中数学的始终.学好函数知识对高中数学的学习至关重要.图形计算器是数学学习的有力工具,在函数学习中有很重要的作用,可以很好地呈现函数知识的形成过程,展现函数知识的内涵,有利于学生加深对函数知识的理解,挖掘函数知识蕴含的重要思想方法,领悟数学的本质;有利于学生掌握函数知识的重点,突破函数知识的难点,构建完整的函数知识体系;有利于学生用函数知识解决实际应用问题,逐步培养科学研究的态度和意识.

主题词 图形计算器 函数

  函数是中学数学极为重要的内容,贯穿高中数学的始终.数、式、方程、不等式、数列、极限、导数与微分等内容都是以函数为中心,同时渗透到三角、立体几何、解析几何,更有内容丰富的函数实际应用性问题,跨学科的综合应用是函数的鲜明特征.所以,学好函数知识是学好整个高中数学的关键.但由于函数是学生所接触到的第一个研究变数之间关系的数学基本概念,从而学生无法很好的基于自身的知识背景来建构这一抽象的概念,并得到深刻的理解.函数图象是函数关系的一种直观、形象的表示,函数图象对函数的概念与性质的理解起着至关重要的作用,但由于作图很麻烦、不方便,甚至不可能作出,从而学生很难达到对函数知识的深刻理解.图形计算器的出现可以很好地学习函数知识.

一、利用图形计算器有利于加深对函数知识的理解,挖掘函数知识蕴含的重要思想方法,领悟数学的本质

  教材的编写有其严密的逻辑体系.函数知识的编写遵循着由简单到复杂,由特殊到一般再到特殊的认知规律.在传统教学中限于技术手段,往往不能很好地呈现函数知识的形成过程,展现函数知识的内涵,挖掘函数知识蕴含的重要思想方法,领悟数学的本质,虽然学生通过一段时间的学习能解决一些问题,但对函数知识的认识往往是一知半解、残缺不全.现在利用图形计算器等信息技术手段,由“静”到“动”,“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程,有利于学生构建完整的知识体系.如指数函数的学习中,只用“描点法”作出y=2x,两个图象,然后直接给出指数函数y=ax的性质.这有些“强加于人”的感觉,例如,学生对为什么要把底数a分为0<a<1和a>1两种情况加以讨论不一定理解,学习过程比较被动.而引导学生用图形计算器完成函数y=2x的对应值表,作出图象,并在信息技术环境下动态观察图象,形成对指数函数性质的感性认识,再让学生自由选择a的值,并用图形计算器在同一坐标系内作图象.在此过程中,学生可清楚地看到底数a如何影响并决定着函数y=ax的性质.由于函数的图象随着0<a<1和a>1自然聚集(如图1),学生可以清楚地看到a=1这条分界线,而函数的定义域、值域、单调性、特殊点(0,1)等更是一目了然.然后再通过a的连续变化来演示函数图象的变化规律,从而让学生更直观、更清楚地“看到”函数y = ax的性质.这样呈现内容,对学生发现和认识“为什么以a=1为分界点” “过点(0,1)为什么要作为性质之一”“为什么不讨论a=0和a<0的情形”(如图2,图3)等,都营造了很好的环境,使教学的开放性、探索式学习等成为可能.显然,如果没有信息技术,上述过程很难实现.


  利用信息技术构建的高中数学教学改变传统教学中学生围着老师转的教学模式,学生从以往的听众变成了积极的参与者,真正成为课堂的主体.把原来的数学学习过程转变成为自己学习数学的过程,使学生体会到知识产生的过程,从而对数学有更深刻的认识,产生更深刻的求知欲,也进一步激发了学生学习数学的积极性.

二、 利用图形计算器有利于掌握函数知识的重点,突破函数知识的难点,构建完整的函数知识体系

  函数的概念、函数的性质、基本初等函数是函数知识的重点,是函数知识的支撑,这些内容的理解掌握,对函数知识的学习至关重要.函数的概念、反函数、复合函数是函数知识的难点,对难点知识的突破,有利于构建完整的知识体系.在传统教学中,对重点知识的教学往往不直观、不具体,不是水到渠成,总有强加于人的感觉,揭示不深刻,不利于知识的理解掌握;对难点知识的教学往往说不清道不明,蜻蜓点水,浅尝辄止,不能有效突破.利用图形计算器可以直观、形象地揭示知识间的联系,有利于掌握重点突破难点.

  以往研究复合函数的性质,特别是复合函数单调性的判断,总是直接给出结论“同则增,异则减”,学生只知其然,而不知其所以然,往往疑惑不解.现在利用图形计算器研究复合函数,设,,在图形计算器上同时显示三个坐标系(如图4),画出(x,t)、(t,y)、(x,y)的对应点,认清这三组变量的对应关系.


  教师指定或由学生自选简单的复合函数进行作图和研究.

例如:y =cos[sin(x)], 设t=sin(x),y = cos(t),则如图5.


学生可以研究:y =cos[sin(x)]的

1.定义域、值域;

2.单调性、奇偶性;

3.最大、最小值等等.

  还可以用图形计算器直接作出图像进行检验(如图6).使复合函数问题变得直观、易懂.对复合函数的有关知识从疑惑不解到理解洞悉,由不确定到确定,由含糊到明确.


  利用信息技术构建的高中数学为学生营造了一个“探索数学”,“体验数学”的环境,大家可以做实验,互相讨论,积极思维,互相协作,大胆猜想,踊跃发表自己的观点,参与感比较强,在实验中学习,数学课也不枯燥了.信息技术给我们带来了生动形象的数学,以其图像的快捷性和直观性为进一步探索数学提供了必要的条件.有利于逐步培养学生科学研究的态度和意识.

三、利用图形计算器有利于解决函数型实际应用问题,逐步培养科学研究的态度和意识

  利用数学知识来解决实际问题的一般方法,是把实际问题加以抽象概括,得出关于实际问题的数学描述,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题.其基本步骤是:


  实际应用问题的解决关键在于数学模型的建立,函数模型的建立步骤是:确定变量,收集数据;根据收集的数据画出散点图;根据散点图选择恰当的函数;建立函数关系式.也就是对变量进行回归分析,得出回归方程,并进行相关性检验.这一过程需要大量的运算,甚至无法用纸和笔来解决,使我们对问题的解决变得厌倦甚至放弃.而利用图形计算器的函数拟合功能,使得对一些采集的实验数据进行分析,建立适当的数学模型变得轻松、容易.如:


(1)根据上表中各组对应的数据,能否找到一种函数,使它比较近似的反应该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系,试写出这个函数关系式.

(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8为偏瘦,那么该地区某校一男生身高175cm,体重78kg,他的体重是否正常?

  这个问题的解决,只要在图形计算器中输入数据画出散点图,根据散点图引导学生用学过的函数y=ax+b, y=alnx+b, y=a bx进行拟合,学生发现用y=a bx拟合较好(如图7,图8).


  追问:为什么不可以用y=ax2+bx+c来拟合呢?这些点的走向趋势也很符合二次函数图像的走势啊?

  老师和同学们一起共同进行研究,用y=ax2+bx+c来拟合,利用图形计算器算得a =0.0037 ,b=-0.4310,c=19.6973,所以,该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为y2(x) = 0.0037x 2 – 0.4310x + 19.6973.

  作出y1(x)和y2(x)的图像(如图9),从拟合的图像上看,两者都拟合得较好,但究竟哪一种函数要更接近实际一些呢?


  师生、生生展开热烈的讨论,最后认为,可以利用y1(x)和y2(x)的函数值与实际值C2的差的绝对值来比较两者接近程度,利用图形计算器可以方便地算出|y1(c1)-c2|的对应数值(C3列的值) ,|y2(c1)-c2|的对应数值(C4列的值)(如图10)


  显然,C3列的误差比C4列的误差要小,由此可见,函数y1(x)的拟合效果要好,所以,函数解析式为y1(x) = 2.0041.020x,能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.利用所得函数关系式容易判断问题(2)中的男生体型偏胖.

  传统应用题由于受信息技术条件的约束,背景不丰富,远离时代,和学生的实际结合得不紧密,大量数据需要人为加工,题目还常常有明显的解题途径的暗示(如上例的教材解法),所以学生难以通过解这些题,提高自己数学建模的能力,领会问题解决的思想.由于有图形计算器和计算机这些信息技术工具,就使得运算繁杂、作图困难、数据处理难度大的问题,特别是一些具有真实背景的实际问题的解决成为可能.借助图形计算器,将实验、尝试、模拟、猜想、检验、调控、运算、推理、证明等作为数学学习的重要方式,更加重视学生的亲身实践活动,促进高层次数学思维,提高数学思考力度.让学生“看到”他们以往只能想象的数学,“做”他们以往不可能做的数学,使学生感受到实实在在的数学.

  总之,图形计算器是数学学习的有力工具,恰当地使用图形计算器,可以有效地学习函数知识,进而学好高中数学知识。

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